算法·二分

二分枚举

适用条件：

答案有明显上下界
答案具有单调性:a满足,若b>=a可以知b必定满足。
本质上是枚举的对数优化

思维技巧

解决问题->>验证答案,明显前者比后者更加困难
若题目有最大值最小，最小值最大这种经典条件，隐含着答案有界

模板

左边界和右边界的界定
判定函数
二分模板

bool isValid(){
	//验证答案
}
int l==a,r=b;
while(l<=r){
	int mid=(l+r)/2
	if(isValid(mid)){
		ans=mid;
		l=mid+1;
	}
	else{
		r=mid-1;
	}
}

以下均为题解

小鸟的设备

题目背景

小鸟有 $n$ 个可同时使用的设备。

题目描述

第 $i$ 个设备每秒消耗 $a_i$ 个单位能量。能量的使用是连续的，也就是说能量不是某时刻突然消耗的，而是匀速消耗。也就是说，对于任意实数，在 $k$ 秒内消耗的能量均为 $k\times a_i$ 单位。在开始的时候第 $i$ 个设备里存储着 $b_i$ 个单位能量。

同时小鸟又有一个可以给任意一个设备充电的充电宝，每秒可以给接通的设备充能 $p$ 个单位，充能也是连续的，不再赘述。你可以在任意时间给任意一个设备充能，从一个设备切换到另一个设备的时间忽略不计。

小鸟想把这些设备一起使用，直到其中有设备能量降为 $0$ 。所以小鸟想知道，在充电器的作用下，她最多能将这些设备一起使用多久。

输入格式

第一行给出两个整数 $n,p$ 。

接下来 $n$ 行，每行表示一个设备，给出两个整数，分别是这个设备的 $a_i$ 和 $b_i$ 。

输出格式

如果小鸟可以无限使用这些设备，输出 $-1$ 。

否则输出小鸟在其中一个设备能量降为 $0$ 之前最多能使用多久。

设你的答案为 $a$ ，标准答案为 $b$ ，只有当 $a,b$ 满足
$\dfrac{|a-b|}{\max(1,b)} \leq 10^{-4}$ 的时候，你能得到本测试点的满分。

解题思路

注意题目描述：能量的使用是连续的，意味着可以从整体来看问题，如果充电量大于总耗电量，则一定可以无限使用，反之则不能。
直接表达问题非常困难，但是从枚举的角度验证答案其实不难
注意精度

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
int n;
double p,ans=0;
vector<double>e(100009, 0); //当前电力
vector<double>ct(100009, 0);//消耗

bool isValid(double s,vector<double>e) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        e[i] -= ct[i] * s;
    }
    double sum = p * s;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (e[i] < 0) {
            sum += e[i];
        }
        if (sum < 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}
void solve() {
    cin >> n >> p;
    double sume = 0;//总电力
    double cost = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> ct[i] >> e[i];
        sume += e[i];
        cost += ct[i];
    }
    if (cost <= p) {
        cout << -1;
        return;
    }
    
    double time = sume / (cost - p);//最大时间
    //cout << "sume==" << sume << " cost==" << cost <<" time==" <<time<< endl;
    double l = 0, r = time;
    while (l <= r) {
        double mid = (l+r)/2;
        if (isValid(mid, e)) {
            ans = mid;
            l = mid + 1e-5;
        }
        else {
            r = mid - 1e-5;
        }
    }
    printf("%f", ans);
    
}
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0); std::cout.tie(0);
    solve();
    return 0;
}

[COCI 2011/2012 #5] EKO / 砍树

题目描述

伐木工人 Mirko 需要砍 $M$ 米长的木材。对 Mirko 来说这是很简单的工作，因为他有一个漂亮的新伐木机，可以如野火一般砍伐森林。不过，Mirko 只被允许砍伐一排树。

Mirko 的伐木机工作流程如下：Mirko 设置一个高度参数 $H$ （米），伐木机升起一个巨大的锯片到高度 $H$ ，并锯掉所有树比 $H$ 高的部分（当然，树木不高于 $H$ 米的部分保持不变）。Mirko 就得到树木被锯下的部分。例如，如果一排树的高度分别为 $20,15,10$ 和 $17$ ，Mirko 把锯片升到 $15$ 米的高度，切割后树木剩下的高度将是 $15,15,10$ 和 $15$ ，而 Mirko 将从第 $1$ 棵树得到 $5$ 米，从第 $4$ 棵树得到 $2$ 米，共得到 $7$ 米木材。

Mirko 非常关注生态保护，所以他不会砍掉过多的木材。这也是他尽可能高地设定伐木机锯片的原因。请帮助 Mirko 找到伐木机锯片的最大的整数高度 $H$ ，使得他能得到的木材至少为 $M$ 米。换句话说，如果再升高 $1$ 米，他将得不到 $M$ 米木材。

输入格式

第 $1$ 行 $2$ 个整数 $N$ 和 $M$ ， $N$ 表示树木的数量， $M$ 表示需要的木材总长度。

第 $2$ 行 $N$ 个整数表示每棵树的高度。

输出格式

$1$ 个整数，表示锯片的最高高度。

解题思路

正常的二分
枚举+最大

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
int n,ans=0;
ll m; vector<int>v(1000009, 0);
bool isValid(int mid) {
    ll sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n;i++) {
        if (mid > v[i]) {
            continue;
        }
        sum += (ll)(v[i] - mid);
    }
    if (sum >= m)return true;
    return false;
}
void solve() {
    cin >> n >> m;
    int maxlen = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> v[i];
        maxlen = max(v[i], maxlen);
    }
    int l = 0, r = maxlen;
    while (l <= r) {
        int mid = (l + r) / 2;
        /*cout << mid << endl;*/
        if (isValid(mid)) {
            ans = mid;
            l=mid+1;
        }
        else {
            r= mid - 1;
        }
    }
    cout << ans;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0); std::cout.tie(0);
    solve();
    return 0;
}

数列分段 Section II

题目描述

对于给定的一个长度为 $N$ 的正整数数列 $A_{1\sim N}$ ，现要将其分成 $M$ （ $M\leq N$ ）段，并要求每段连续，且每段和的最大值最小。

关于最大值最小：

例如一数列 $4\ 2\ 4\ 5\ 1$ 要分成 $3$ 段。

将其如下分段：

$[4\ 2][4\ 5][1]$

第一段和为 $6$ ，第 $2$ 段和为 $9$ ，第 $3$ 段和为 $1$ ，和最大值为 $9$ 。

将其如下分段：

$[4][2\ 4][5\ 1]$

第一段和为 $4$ ，第 $2$ 段和为 $6$ ，第 $3$ 段和为 $6$ ，和最大值为 $6$ 。

并且无论如何分段，最大值不会小于 $6$ 。

所以可以得到要将数列 $4\ 2\ 4\ 5\ 1$ 要分成 $3$ 段，每段和的最大值最小为 $6$ 。

输入格式

第 $1$ 行包含两个正整数 $N,M$ 。

第 $2$ 行包含 $N$ 个空格隔开的非负整数 $A_i$ ，含义如题目所述。

输出格式

一个正整数，即每段和最大值最小为多少。

解题思路

判定函数：我感觉我的判定函数没起到作用，因为当区间长度为1时，如果和sum>枚举值时，这个枚举值一定是无效的。
但是如果不加入l=maxv对二分左边界作限制，又过不了…
应该对二分边界作详细界定，不能忽略的左边界！！！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
int n, m,ans=0;
vector<int>v(100009, 0);
bool isValid(ll t,int m) {//t目标值，m是段数
    ll sum = 0;
    int i = 1;
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        sum += (ll)v[j];
        if (sum > t) {
            if (i < j) {
                sum = (ll)v[j];
                i = j;
                m--;
            }
            else {
                return false;
            }
        }
    }
    if (m < 1) {
        return false;
    }
    return true;
}
void solve() {
    cin >> n >> m;
    ll maxv = 0,sum=0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> v[i];
        maxv = max(maxv, (ll)v[i]);
        sum += (ll)v[i];
    }
    /*cout << "maxv==" << maxv <<" sum=="<<sum<< endl;*/
    ll l = maxv, r = sum,mid=0;
    while (l <= r) {
        mid = (l + r) / 2;
        if (isValid(mid, m)) {
            ans = mid;
            r = mid - 1;
        }
        else {
            l = mid + 1;
        }
    }
    cout << ans;
}
signed main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0); std::cout.tie(0);
    solve();
    return 0;
}